Байесовский вывод

Байесовский вывод — статистический вывод, в котором свидетельство и/или наблюдение используются, чтобы обновить или вновь вывести вероятность того, что гипотеза может быть верной; название байесовский происходит от частого использования в процессе вывода теоремы Байеса, которая была выведена из работ преподобного Томаса Байеса.

Свидетельство и изменение веры

Байесовский вывод использует аспекты научного метода, который вовлекает сбор свидетельств, предназначенных для того, чтобы поддерживать или не поддерживать данную гипотезу. Поскольку свидетельства накапливаются, степень веры в гипотезу должна измениться. С достаточным количеством свидетельств, она должна стать либо очень высокой, либо очень низкой. Таким образом, сторонники байесовского вывода говорят, что он может использоваться, чтобы провести различие между противоречивыми гипотезами: гипотезы с очень высокой поддержкой должны быть приняты как истинные, а с очень низкой поддержкой должны быть отклонены как ложные. Однако противники говорят, что этот метод вывода может привести к отклонению благодаря исходному верованию, которого каждый придерживается до того, когда какое-либо свидетельство будет собрано (это — форма так называемого индуктивного отклонения(англ. bias)).

Байесовский вывод использует числовую оценку степени веры в гипотезу до получения свидетельства, чтобы вычислить числовую оценку степени веры в гипотезу после того, как свидетельство было получено (этот процесс повторяется, когда получено дополнительное свидетельство). В индукционном процессе байесовский вывод обычно опирается на степени веры, или субъективные вероятности, и не обязательно утверждает, что обеспечен объективный метод индукции. Тем не менее некоторые байесовские статистики полагают, что вероятности могут иметь объективное значение, и поэтому байесовский вывод может обеспечить объективный метод индукции (см. научный метод).

Теорема Байеса подправляет вероятность гипотезы, данную новым свидетельством, следующим образом:

[math]\displaystyle{ P(H|E) = \frac{P(E|H)\;P(H)}{P(E)}, }[/math]

где

• [math]\displaystyle{ H }[/math] представляет конкретную гипотезу, которая может быть, а может и не быть некоторой нулевой гипотезой.
• [math]\displaystyle{ P(H) }[/math] называется априорной вероятностью [math]\displaystyle{ H }[/math], которая была выведена прежде, чем новое свидетельство [math]\displaystyle{ E }[/math] стало доступным.
• [math]\displaystyle{ P(E|H) }[/math] называется условной вероятностью наблюдения свидетельства [math]\displaystyle{ E }[/math], если гипотеза [math]\displaystyle{ H }[/math] оказывается верной; её также называют функцией правдоподобия, когда она рассматривается как функция [math]\displaystyle{ H }[/math] для фиксированного [math]\displaystyle{ E }[/math].
• [math]\displaystyle{ P(E) }[/math] называется маргинальной вероятностью [math]\displaystyle{ E }[/math]: априорная вероятность наблюдения нового свидетельства [math]\displaystyle{ E }[/math] согласно всем возможным гипотезам; может быть вычислено по формуле полной вероятности:

[math]\displaystyle{ P(E) = \sum P(E|H_i)P(H_i) }[/math]

 — как сумма произведений всех вероятностей любого полного набора взаимно исключающих гипотез и соответствующих условных вероятностей.

• [math]\displaystyle{ P(H|E) }[/math] называется апостериорной вероятностью [math]\displaystyle{ H }[/math] для данного [math]\displaystyle{ E }[/math].

Простые примеры байесовского вывода

Из какой вазы печенье?

Для иллюстрации предположим, что есть две полных вазы печенья. В первой вазе 10 штук шоколадного и 30 штук простого печенья, в то время как во второй вазе по 20 штук каждого сорта. Наш друг Фред выбирает вазу наугад, и затем выбирает печенье наугад. Мы можем предположить, что нет никакой причины полагать, что Фред предпочитает одну вазу другой, аналогично и для печенья. Печенье, выбранное Фредом, оказывается простым. Насколько вероятно, что Фред выбрал его из 1-ой вазы?

Интуитивно, кажется ясным, что ответ должен быть больше половины, так как есть больше простого печенья в 1-ой вазе. Точный ответ дается теоремой Байеса. Пусть [math]\displaystyle{ H_1 }[/math] — выбор вазы 1, а [math]\displaystyle{ H_2 }[/math]— выбор вазы 2. Предполагается, что вазы идентичны с точки зрения Фреда, таким образом [math]\displaystyle{ P (H_1) =P (H_2) }[/math], а вместе должны составить 1, таким образом обе равны 0.5.

Событие [math]\displaystyle{ E }[/math] — наблюдение простого печенья. Из содержания ваз, мы знаем что [math]\displaystyle{ P (E|H_1) = 30/40 = 0.75 }[/math] и [math]\displaystyle{ P (E|H_2) = 20/40 = 0.5 }[/math].

Формула Байеса тогда даёт

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} P (H_1|E) &=& \frac {P (E|H_1) P (H_1)} {P (E|H_1)P (H_1) + P (E|H_2)P (H_2)} \\ \\ &=& \frac {0.75 \times 0.5} {0.75 \times 0.5 + 0.5 \times 0.5} \\ \\ &=& 0.6. \end{matrix} }[/math]

До того, как мы наблюдали печенье, вероятность, которую мы назначили для Фреда, выбиравшего 1-ю вазу, была априорной вероятностью [math]\displaystyle{ P (H_1) }[/math], равной 0.5. После наблюдения печенья, мы должны пересмотреть вероятность [math]\displaystyle{ P (H_1|E) }[/math], которая теперь равна 0.6.

Литература

• On-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms Архивная копия от 17 февраля 2016 на Wayback Machine, by David MacKay, has chapters on Bayesian methods, including examples; arguments in favour of Bayesian methods (in the style of Edwin Jaynes); modern Monte Carlo methods, message-passing methods, and variational methods; and examples illustrating the connections between Bayesian inference and data compression.
• Berger, J.O. (1999) Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Second Edition. Springer Verlag, New York. ISBN 0-387-96098-8 and also ISBN 3-540-96098-8.
• Bolstad, William M. (2004) Introduction to Bayesian Statistics, John Wiley ISBN 0-471-27020-2
• Bretthorst, G. Larry, 1988, Bayesian Spectrum Analysis and Parameter Estimation Архивная копия от 14 мая 2011 на Wayback Machine in Lecture Notes in Statistics, 48, Springer-Verlag, New York, New York
• Carlin, B.P. and Louis, T.A. (2008) Bayesian Methods for Data Analysis, Third Edition. Chapman & Hall/CRC. [1]
• Dawid, A.P. and Mortera, J. (1996) Coherent analysis of forensic identification evidence. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 58,425-443.
• Foreman, L.A; Smith, A.F.M. and Evett, I.W. (1997). Bayesian analysis of deoxyribonucleic acid profiling data in forensic identification applications (with discussion). Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 160, 429—469.
• Gardner-Medwin, A. What probability should the jury address?. Significance. Volume 2, Issue 1, March 2005
• Gelman, A., Carlin, J., Stern, H., and Rubin, D.B. (2003). Bayesian Data Analysis. Second Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida. ISBN 1-58488-388-X.
• Gelman, A. and Meng, X.L. (2004). Applied Bayesian Modeling and Causal Inference from Incomplete-Data Perspectives: an essential journey with Donald Rubin’s statistical family. John Wiley & Sons, Chichester, UK. ISBN 0-470-09043-X
• Giffin, A. and Caticha, A. (2007) Updating Probabilities with Data and Moments Архивная копия от 13 декабря 2015 на Wayback Machine
• Jaynes, E.T. (1998) Probability Theory: The Logic of Science Архивная копия от 8 ноября 2020 на Wayback Machine.
• Lee, Peter M. Bayesian Statistics: An Introduction. Second Edition. (1997). ISBN 0-340-67785-6.
• Loredo, Thomas J. (1992) «Promise of Bayesian Inference in Astrophysics» in Statistical Challenges in Modern Astronomy, ed. Feigelson & Babu.
• O’Hagan, A. and Forster, J. (2003) Kendall’s Advanced Theory of Statistics, Volume 2B: Bayesian Inference. Arnold, New York. ISBN 0-340-52922-9.
• Pearl, J. (1988) Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems, San Mateo, CA: Morgan Kaufmann.
• Robert, C.P. (2001) The Bayesian Choice. Springer Verlag, New York.
• Robertson, B. and Vignaux, G.A. (1995) Interpreting Evidence: Evaluating Forensic Science in the Courtroom. John Wiley and Sons. Chichester.
• Winkler, Robert L, Introduction to Bayesian Inference and Decision, 2nd Edition (2003) Probabilistic. ISBN 0-9647938-4-9
• Scientific American essay on Bayesian inference and the probability of God’s existence by Chris Wiggins Архивная копия от 30 апреля 2015 на Wayback Machine.
• A nice on-line introductory tutorial to Bayesian probability Архивная копия от 4 мая 2009 на Wayback Machinefrom Queen Mary University of London
• An Intuitive Explanation of Bayesian Reasoning Bayes' Theorem for the curious and bewildered; an excruciatingly gentle introduction by Eliezer Yudkowsky
• Paul Graham. «A Plan for Spam» Архивная копия от 4 апреля 2004 на Wayback Machine (exposition of a popular approach for spam classification)